Horst Steibl, TU Braunschweig


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Der Schierlingsbecher

Oder: Ist die Anschauung Gift für das Finden und Lösen von Problemen?


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Meine Veröffentlichungen
Das Büchlein
"Das Geo-Brett im Unterricht",
ist in einer Neuaflage bei Franzbecker erschienen
Wenn Sie mehr sachliche Informationen haben wollen:
  • Horst Steibl: Geometrie aus dem Zettelkasten, div Verlag, Franzbecker, Bad Salzdetfurt 1997
    (handlungsorientierte Zugänge, Grundschule und Sek I)
  • Horst Steibl: Warum ist das Quadrat so krumm? div Verlag, Franzbecker, Hildesheim Berlin 1998
    (fachliche Zugänge)
  • Horst Steibl: "Euklid" und das krumme Quadrat. Verlag Franzbecker, Hildesheim 2000.
    (Anwendungen mit DynaGeo Euklid)

  • Wenn der Text nicht ganz zu sehen ist, so denken Sie an die Taste F11!
    Sie können die Powerpoint-Repräsentation meines Vortrages Dortmund GDM 2003 "Das Fünfeck und der Schierlingsbecher - oder - Das Gift der schönen Bider"herunterladen (allerdings zunächst ohne erklärenden Text). betrachten Sie die PPT aus dem Internet direkt
      Zum Inhaltsverzeichnis hier klicken

      Inhaltsverzeichnis
    1. Falten eines Trinkbechers aus einem Quadrat
    2. Falten einer Ecke auf die Gegenseite
    3. Das Drachenviereck
    4. Die Winkel des Becherblattes
    5. Satz von Haga
    6. Die Strahlensatzfigur zu Haga
    7. Das Fünfeck aus dem DIN-Format
    8. Die Faltlinien des geöffneten Rechtecks
    9. Die verlängerten Faltlinien des geöffneten Rechtecks
    10. Die Winkel im tan-54°-Rechteck
    11. Die goldenen Dreiecke und das S der Fünfeckstrecken
    12. Die Länge der Fünfeckseite im tan-54°-Rechteck
    13. Achteckdreiecke im Quadrat
    14. Das Mittelpunktdreieck eines regelmäßigen Achtecks
    15. Der Stern im DIN-Format
    16. Das Achteck im DIN-Format
    17. Das Achteck aus dem Quadrat
    18. Die Zirkelkonstruktion des Achtecks im Quadrat

    Steibl´s Knobelkiste
    Der Schierlingsbecher

    1. Falten Sie ein Einheitsquadrat (10 x 10) diagonal (Zugpunkt auf Zielpunkt)
    2. Falten Sie im 2. Dreieck die Ecke Zug so auf die Gegenseite (Ziel), dass oben ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck entsteht, d.h. dass die obere Seite des abgefalteten Dreiecks parallel zur Quadratdiagonale verläuft.
    3. Verfahren Sie mit der zweiten R/2 Ecke A´ entsprechend (A´auf T´)
    4. Falten Sie von den oberen zwei rechtwinkligen Zipfeln (S) einen nach vor und einen nach hinten.
    5. Öffnen Sie das Gebilde zum Trinkbecher, gießen Sie Schierlingssaft hinein und trinken ihn bitte nicht aus. Versuche Sie zunächst die Faltfigur zu analysieren.
      Welche Winkel finden Sie? Welche Seitenlängen können Sie berechnen? Öffnen Sie das Faltgebilde wieder. Zeichnen Sie die Faltlinien nach. Suchen Sie bemerkenswerte Drei- und Vierecke. Berechnen Sie die Winkelgrößen als Bruchteile von R.
      Preisfrage:
      Wie können Sie durch Falten exakt den Teilungspunkt P bestimmen
      . Hinweis: Machen Sie alles rückgängig (ober Befehlszeile "rückgängig"). Begründen Sie Ihre Antwort auch konstruktiv (Zirkel Lineal).
      Gehen Sie bitte nicht gleich weiter!
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    Falten einer Ecke auf die Gegenseite

    Ziehen Sie am Zugpunkt und überlegen Sie. Vielleicht hilft Ihnen dieses weiter:
    Wenn Sie die Ecke auf die Gegenseite falten, ist das abgefaltete Dreieck kongruent dem gefalteten Dreieck.
    Was für eine Viereck (aus diesen beiden Dreiecken) entsteht somit immer? Welche Grenzfälle ergeben sich? Welches Viereck ergibt sich im Fall der richtigen Lösung? Welche Funktion hat die Faltlinie (eigentlich immer)?
    Konstruieren Sie diese faltbare Figur mit Euklid und Sie haben die Lösung!


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    Das Drachenviereck



    Wenn Sie die Ecke T auf die Gegenseite falten, so bilden die beiden Dreiecke (ursrpüngliche Lage - Faltlage) einen Drachen. Die Faltlinie ist Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke Punkt-Bildpunkt .
    Soll die Linie TZ parallel zur Grundseite verlaufen (also im Falle der Raute) dann ist diese Verbindungslinie Winkelhalbierende.
    Wenn Sie also den Winkel R/2 halbieren, finden Sie den gesuchten Punkt Z.


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    Die Winkel des Bechersblattes



    Warum ist das grüne Viereck eine Raute? In einer Raute sind die Diagonalen Spiegelachsen. Also halbiert der Strecke AC den 45° Winkel bei A. Durch Falten dieser Winkelhalbierenden bestimmen Sie den Teilungspunkt C.

    Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem rote Dreieck und einem Achteck?

    Suchen Sie ein Quadrat das größer als die gelben Quadrate ist. Wie lang sind dessen Seiten?

    Berechnen Sie alle Seitenlängen des Bechertrapezes als Wurzelterme im Einheitsquadrat.
    Das Dreieck ASC können Sie als die Hälfte eines Achteckdreiecks deuten. Vergleichen Sie mit dem Dreieck ATF?


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    Der Satz von Haga

    Halbieren Sie das Quadrat durch eine Mittellinie durch M.
    Falten Sie A auf M. ( Sie können die Faltung in der Zeichnung simulieren). Welche Bedeutung können Sie der Faltlinie RT zuordnen?
    Die zwei grünen und das kleine überstehende Dreieck sind ähnlich. Ihre Seiten verhalten sich wie
    3 : 4 : 5. (Satz von Haga)

    Zum Beweis muss gezeigt werden, dass der Punkt S´ die Quadratseite drittelt.
    Hilfen:
    Was für ein Quadrat finden Sie über der goldenen Linie AM? Begründen Sie die Länge der Strecke AM´!
    Suchen Sie eine Strahlensatzfigur, in der BS´ein Abschnitt ist. Zeigen Sie damit, dass S´die Quadratseite drittelt.
    Nun können Sie die Seiten ins Verhältnis setzten!



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    Die Strahlensatzfigur zu Haga

    Das zweite Quadrat ist durch eine zentrische Streckung mit dem Faktor 1/2*Wurzel 5 aus dem ersten hervorgegangen. (Die neue Quadratseite ist die goldene Linie des ersten Quadrates). Die goldene Linie des zweiten Quadrates ergibt sich somit (im Einheitsquadrat gerechnet) als
    (1/2 * Wurzel 5)2= 5/4.

    Mit CM = 1/2 und BM´= 1/4 ergibt sich somit für
    CS´: S´B = 2 : 1.

    Damit können Sie das angegebene Verhältnis bestimmen. Die Strecke BC wird durch S´gedrittelt. Führen Sie diese Rechnung ausführlicher aus!




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    Das Fünfeck aus dem DIN-Format

    Das Rechteck ABCD sei ein Ostwaldrechteck, d.h. die Seiten sollen im Verhältnis 1 : Wurzel 2 stehen.
    Falte A auf C und die Mittelsenkrechte der Faltlinie PQ. Welche Funktion hat diese im Rechteck?
    Falte die Strecke PB´auf diese Mittelsenk-rechte. Welche Funktion hat diese Faltlinie im Rechteck? Falte entsprechend D´Q uaf P´B´´ (geht in der Zeichnung nicht mehr.).Ist das Fünfeck regelmäßig?

    Begründe zunächst, warum das längs QP gefaltete Blatt, das FünfeckQPBCD´, symmetrisch ist.
    Die Endfigur scheint ein regelmäßiges Fünfeck zu sein. Ist es aber, wenn es ein DIN-Blatt ist, nicht - nur fast.
    Die Begründung liefern wir später. Zunächst überlegen wir wie folgt. Nehmen wir einmal an, es sei ein regelmäßiges Fünfeck. Was können wir dann über die auftretenden Winkel (speziell bei C) aussagen? Winkelsumme im Fünfeck? Dann kommt auf jeden Eckwinkel ....Der obere Eckwinkel setzt sich aus 90° + ... zusammen. Die lotrechte Symmetrieachse teilt den rechten Winkel in zwei Teilwinkel: Dem halben Eckwinkel (....°) und dem Rest.
    Der größere Teilwinkel des rechten Winkel ist aber nicht ... Wenn wir ihn berechnen wollen müssen wir eine Winkelfunktion heranziehen. Die Seiten eines DIN-Formates stehen im Verhältnis 1 : Wurzel 2. Rechnen Sie. Welcher Funktion liefert so welchen Teilwinkel? Sie sehen: fast.....
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    Die Faltlinien im Rechteck

    Nehmen wir einmal an, die Diagonale teilt den Rechten Winkel in
    36° + 54°. Es sei also ein tan-54°-Rechteck. Wissen Sie schon, wie Sie sich ein solches Rechteck zuschneiden können?
    Wenn Sie nun die Strecken der anderen Faltlinien hier betrachten , können Sie nur schwer eine Aussage über die Winkel erhalten. Welche Funktionen haben diese Linien im Rechteck? Eine Hilfe erhalten Sie, wenn Sie nicht nur die Strecken betrachten, sondern die Geraden, die durch diese Strecken bestimmt sind (ich nenne sie Trägergeraden). Zeichen Sie sie ein (ziehen Sie an den Zugpunkten Z1 bis Z4) und versuchen Sie diese durch Faltung zu erzeugen. Falten Sie das Fünfeck, überlegen Sie, messen Sie evtl. auch einmal nach.
    Suchen Sie nach Argumenten, die Ihre Messung begründen können.


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    Die verlängerten Faltlinien des Rechtecks

    Was bedeutet eigentlich die Faltung von PB`auf AC? Mach dir folgendes klar. Jede Faltung ist eine Spiegelung. Bringen wir zwei Punkte (A auf C) aufeinander. so ist die Faltlinie die Spiegelachse der Spiegelung, die A auf C abbildet, also die Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke der beiden Punkte. Und das ist hier die Diagonale des Rechtecks. Nichts neues!
    Bringen wir zwei Strecken aufeinander, so gibt es zwei Fälle: Sind die Strecken parallel, so ist die Faltlinie die Mittelparallele. Sind sie nicht parallel, so ist die Faltlinie die Winkelhalbierende des Winkels, der von den beiden Trägergeraden der Strecken gebildet wird.
    Um ein tan-54°-Rechteck zu erhalten, muss ich von einem DIN-A-4 Blatt etwa 8 mm von der langen Seite abschneiden.
    Falten Sie ein solches tan-54°-Rechteck zum Fünfeck, öffnen Sie es und zeichnen die Trägergeraden (Winkelhalbierenden) der Faltlinien und bestimmen Sie alle Winkel.
    Suchen Sie das S der Fünfeckseiten in dem aufgefalteten Blatt. Sie finden zwei stumpfwinklige und zwei spitzwinklige goldenen Dreiecke und können so beweisen, dass die Fünfeckseiten alle gleich lang sind.


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    Die Winkel im tan-54°-Rechteck

    Wenn Sie eingesehen haben, dass die Diagonale im tan-36°-Rechteck den rechten Winkel in 36° + 54° teilt, die Faltlinien den 36° Winkel halbieren, aus Symmetriegründen der 54° Winkel in
    36° + 18° geteilt wird, dann können Sie weiter argumentieren. Es entstehen drei goldene Dreiecke. Die Schenkel des spitzwinkligen können als Diagonalen des Fünfecks gedeutet werden. Die Basis ist eine Fünfeckseite. Die stumpfwinkligen zeigen zwei Fünfeckseiten und eine Diagonale.
    Was ungeklärt bleibt, ist folgende Frage:
    Wie lässt sich die Fünfeckseite aus der kurzen Rechteckseite des tan-54°-Rechtecks berechnen?
    Wenn Sie eine Lösung ohne trigonometrische Funktionen finden, schreiben Sie mir bitte.

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    Die Faltlinien als Winkelhalbierende
    die goldenen Dreiecke
    und das S der Fünfeckstrecken

    Hier noch einmal die goldenen Dreiecke
    Wenn Sie nichts sehen. so ziehen Sie etwas am Zugpunkt Z.

    Dies ist ein Tan-54°-Rechteck. Ziehen Sie zwei Dreiecke an Zugp1 und Zugp2 auf. Welche Winkel haben die Dreiecke? Verfahren Sie entsprechend mit Zugp3.



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    Achteckdreiecke im Quadrat

    Ein 10 x 10 Quadrat: Falten Sie die Diagonalen. Falten Sie die rechte lotrechte Quadratseite auf die Diagonale. Öffnen Sie das Blatt wieder, drehen Sie es um 90° und wiederholen Sie den Vorgang, bis Sie das Quadrat einmal vollständig gedreht haben.
    Welche Funktion haben die vier Faltlinien?

    Schätzen Sie den Flächeninhalt des Quadrates QU als Bruchteil des 10 x 10 Quadrates. Ergänzen Sie H1 mir Hilfe H2 zum Quadrat. Verfahren Sie mit H3 entsprechend. Ließen sich die kleinen Dreiecke auch zum Quadrat zusammenlegen? Begründen Sie Ihre Meinung!

    Sie finden in dieser Figur 4 kleine und 4 große gleichschenklige Dreiecke. Warum sind sie ähnlich? Welche Sonderform liegt vor? Geben Sie die Größe der Winkel als Bruchteile von R an.

    Welcher Zusammenhang besteht zur letzten Frage aus dem vorangehenden Absatz?

    Begründen Sie die Überschrift dieser Seite!


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    Das Mittelpunktdreieck eines regelmäßigen Achtecks

    8 * 45° = 360°. Acht gleichschenklige Dreiecke mit dem Scheitelwinkel 45° schließen sich zum Achteck.
    Hier sehen Sie zwei solche Dreiecke im Einheitsquadrat. Falten Sie ein solche (großes) Dreieck aus einem Quadrat.
    Wie lang sind die Schenkel der beiden Dreiecke? Geben Sie die Werte exakt (evtl. als Wurzelterme) an!

    Die Basis lässt sich auch als Wurzelterm bestimmen. Vielleicht versuche Sie es schon einmal.

    Sie sehen, das Quadrat in der Mitte ist etwas kleiner als 1/3 des großen ( 29,29/100).
    Der Kehrwert des Bruchterms lässt Sie vielleicht einen bestimmten Wert vermuten? Wie hieße dann der Term für die Seitenlänge des mittleren Quadrates?

    Um eine Aussage zur Länge der Basis zu bekommen, sollten Sie aus einem Quadrat das maximale Achteck falten. Wissen Sie , wie das zu machen ist?
    Ferner sollten Sie den Zusammenhang zwischen DIN-Format (Ostwaldrechteck), Quadrat und Achteck kennen.


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    Der Stern im DIN-Format


    Das ist ein DIN-Blatt. Falten Sie die Diagonalen des Quadrates und bringen sie die lange Rechteckseite auf diese Diagonale: das passt; d. h. die lange Rechteckseite ist gleich lang wie die Diagonale des Quadrates.
    Ein DIN-Blatt ist ein Rechteck aus Länge einer Quadratseite mal Länge die Quadratdiagonale. Der Chemiker Ostwald hat das DIN-Format definiert. Deshalb nennen wir ein solches Rechteck Ostwaldrechteck

    Wenn Sie mehr wissen wollen: Einmal bitte "Quadrat - DIN-Format und zurück"

    Ludwigsburg 2001


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    Das Achteck im DIN-Format


    Das ist ein DIN-Blatt. Also ein Rechteck, dessen Seiten im Verhältnis 1 : Wurzel 2 stehen. Ein solches Rechteck heißt auch Ostwaldrechteck.
    Nehmen Sie ein solches Blatt und falten Sie das Quadrat ab. ( Diagonalen falten, oberes Rechteck abfalten und abtrennen.) Falten Sie die lange Mittellinie des abgetrennten Rechtecks und die Mittellinien des Quadrates.
    Legen Sie das Rechteck mit der Mittellinie auf die Diagonalen des Quadrates und markieren Sie die Lage derEckpunkte. Wenn Sie nun das Rechteck auf die Mittellinie des Quadrates legen, sehen Sie: es passt.
    Die Punkte markieren die Eckpunkte eines regelmäßigen Achtecks.
    Die kurze Seite des schmalen abgetrennten Rechtecks hat also die Länge der Achteckseite im Quadrat. Wie lang ist diese?

    In der nebenstehenden Abbildung liegen zwei solche Rechtecke oben und zwei rechts übereinander. Bringen Sie diese mit ihren Mittellinien auf die Diagonalen und die Mittellinien des Quadrates.
    Wie lang ist nun die Seite des Achtecks im Einheitsquadrat offensichtlich?

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    Achteck aus dem Quadrat

    Falten Sie die untere Quadratseite auf die Diagonale (Z1 auf Ziel). Damit wird der halbe rechte Winkel halbiert. Der Rest der Diagonale hat nun die Länge "(Wurzel 2) - 1". Falten Sie den Eckpunkt rechts oben auf diesen Zielpunkt (Z2 auf Ziel). Damit haben Sie zwei Diagonalen eines Quadrates. Diese zweite Diagonale ist nun die Achteckseite. Wenn Sie dies für alle vier Ecken machen , dann haben Sie das Achteck.
    Warum eigentlich?

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    Die Zirkelkonstruktion des Achtecks im Quadrat

    Schlagen Sie mit d/2 um die Eckpunkte des Quadrates Viertelkreise. Die Schnittpunkte mit den Quadratseiten ergeben die Achteckpunkte.
    Begründen und rechnen Sie im Einheitsquadrat:
    Der Rest R ergibt sich als
    r = (1 - 1/2d)
    s = 1 - 2*r = 1 - 2*(1 - 1/2d) :
    Ergibt dies (Wurzel 2) - 1?

    Glauben Sie nun, dass die Achteckseite im Quadrat
    ((Wurzel 2) - 1) mal so lang ist wie die Quadratseite?
    Glauben heißt noch nicht wissen im Sinne von eingesehen haben. Bewiesen haben wir bisher noch gar nichts. Wir haben gesehen, dass... Wir müssen unsere Vermutung (mehr ist es bisher noch nicht) noch beweisen.

    Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:
    s = 1 - 2*r und s² = 2 * r².
    Aber das können Sie nun wirklich allein.

    Ich habe den entscheidenden Beweis bewußt so lange zurückgehalten. Ich möchte damit deutlich machen, dass Anschauung die Beweisbedürftigkeit eines Problems mitunter zu verstecken droht.
    Sie sollten diesen Tatbestand aber immer positiv drehen:
    Jetzt möchte ich es aber doch eigentlich genau wissen!

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